شاید روی کاغذ این یکی از ساده‌ترین مسائل ریاضی در دنیا به نظر برسد: ۲+۲ اگر در دنیای واقعی در حال شمارش چیزی باشید، مثلا دو تا پیچ در خانه داشته باشید و دو تا هم از فروشگاه تهیه کنید، به وضوح می‌بینید که ۴ تا پیچ دارید. اما در برخی مواقع دیگر، قضیه به همین سادگی نخواهد بود. مثل اگر دو فنجان سرکه را به دو فنجان جوش‌شیرین اضافه کنید، این واکنش باعث ایجاد ۵ فنجان از ماده‌ای در حال جوش و خروش خواهد شد. اما آیا این بدین معناست که ۵=۲+۲؟
کافی است فرضیات را وارد دنیای ریاضی کنیم. در این مورد، شمارش اعداد ساده (یعنی ۱، ۲، ۳ و...) بیانگر شکافی بین انتزاع و کاربرد ریاضی هستند. ریاضی‌دانان با استفاده از "۴=۲+۲"، به‌عنوان یک طعمه برای فکر کردن به دنبال شرایطی هستند که در آن ۲+۲ واقعا برابر ۴ نباشد و ما می‌توانیم این تفاسیر را به ابهامات و سوالات بزرگتری در زمینه معرفت‌شناسی تعمیم دهیم.
کریم کار، دکترای آمار زیستی و دانشجوی دانشگاه هاروارد در روز سی جولای ۲۰۲۰ در توئیتر در این رابطه نوشت: «نمی‌دانم چه کسی باید این را بشنود، ولی اگر کسی بگوید که ۵=۲+۲، پاسخ صحیح این است که " تعریف و بدیهیات ذهن شما چیست"؟»
او در توئیتر خود به این نکته اشاره کرد که شمارش اعداد، در حقیقت انتزاعی از چیز‌های زیربنایی واقعی در دنیاست. در نتیجه باید به این نکته توجه داشته باشیم که چطور این انتزاعات در هنگام معرفی به سناریو‌های دنیای واقعی، حقیقت را تحریف می‌کنند.
حساب و کتاب گرچه در کتاب‌های درسی به خوبی کار می‌کنند، اما در عمل، گاهی با برخی سوالات متنی مواجه می‌شوید که بخش‌هایی از یک کل، تقریب‌ها یا بردار‌های مرتبط‌تری را در نظر نمی‌گیرند.
مثلا، اگر درجات کاملی را به یک زاویه اضافه می‌کنید، در نهایت به دور زاویه‌ای می‌چرخید که ۳۶۰ درجه است. ولی یک زاویه ۳۶۰ درجه، جهت‌گیری یکسانی با زاویه ۰ درجه دارد. در نتیجه اینکه زاویه صفر درجه باشد یا ۳۶۰ درجه، به زمینه موضوع بستگی دارد. به همین ترتیب اگر یک پیچ را در پنج چرخش کامل (مجموعا ۱۸۰۰ درجه) به جای ۴ چرخش کامل (۱۴۴۰ درجه) بچرخانید، جهت پیچ ثابت می‌ماند، اما بحث دیگر، یعنی میزان نفوذ پیچ در عمق چوب مطرح می‌شود.
توئیت کار، با پاسخ‌های متعددی روبرو شد که نمونه‌های دیگری از محدودیت‌های محاسباتی در دنیای واقعی را نشان می‌داد.
بیشتربخوانید
برخی افراد به این نکته اشاره کردند که دو حیوان از طریق تولیدمثل تبدیل به سه حیوان خواهند شد (۳=۱+۱ یا ۱=۱+۱) که به پارامتر‌ها بستگی دارد) و یا اینکه اگر قطعات یدکی کافی دستگاه‌هایی را داشته باشید، می‌توانید دو دستگاه را به سه دستگاه تبدیل کنید. برخی دیگر به این نکته اشاره کردند که با گرد کردن عدد ۲.۳ به عدد ۲ می‌رسید، ولی اگر ۲.۳ را به اضافه ۲.۳ کنید، نتیجه به عدد ۵ نزدیک خواهد شد و این امکان فراهم می‌شود که بتوان گفت که ۵=۲+۲.
به شکل کلی، این ایده که ما به طور ذاتی شمارش اعداد را یاد می‌گیریم (البته بحث اعداد کامل مطرح است و نه اعداد کسری و اعشاری)، یک تصور و اشتباه رایج در بین افرادی است که در زمینه ریاضی یا توسعه انسانی آموزش ندیده‌اند. کودکان خردسال، با شمارش، اعداد را یاد می‌گیرند، ولی زمانی که بتوانند کمیت‌ها را به سرعت تشخیص دهند، شروع به یادگیری شمارش اعداد پیچیده‌تر خواهند کرد که این توانایی subitizing نامیده می‌شود.
به عنوان مثال وقتی ما گروهی از چهار شی را تشخیص دهیم و سپس به سراغ پنجمین، ششمین و هفتمین شی برویم، کار برایمان آسان‌تر خواهد شد. شمردن، یک مهارت غیرطبیعی و آموخته شده است و حتی حیواناتی مثل سگ یا شامپانزه هم می‌توانند تا چهار یا پنج بشمارند و این یک مهارت استثنایی درنظر گرفته می‌شود. در نتیجه تحمیل اعداد قابل شمارش انتزاعی به دنیای واقعی، یک تنش ذاتی ایجاد خواهد کرد.
مشکلات بیشتر با انتزاع ریاضیات بر روی کاغذ پدیدار می‌شود. کار، مفهوم ۵=۲+۲ را به شیوه‌هایی که مدل‌های آماری می‌توانند به گروه‌های حاشیه‌ای در برخی پارامتر‌ها آسیب برسانند، مرتبط می‌کند: «زمانی که یک ساختار عددی مثل IQ ایجاد می‌کنید، باید در ذهن داشته باشید که ویژگی‌های این امتیاز ممکن است منعکس‌کننده چیز‌های واقعی در حال اندازه‌گیری نباشد.»
در شرایطی که بحث کار درباره ۵=۲+۲، تا حدودی ماهیت "پست مدرنی" دارد، این معادله به عنوان یک اصل ضد روشنفکری، داستان‌هایی را در پس خود دارد. به عنوان مثال فیودور داستایوفسکی در رمان "یادداشت‌هایی از زیرزمین" که در سال ۱۸۶۴ نوشته شد، قهرمان ناشناس داستان را به نحوی تنظیم کرد که باور کند که ۵=۲+۲. داستایوفسکی فکر می‌کرد که چنین اعتراضی به منطق بیرونی، نشان‌دهنده اراده آزاد است که انسان را می‌سازد.
در عین حال جورج اورول در مقاله‌ای در سال ۱۹۴۳، تبلیغات نازی‌ها را انکار علم توصیف کرده و به این نکته اشاره کرد که اگر هیتلر مدعی شود که ۵=۲+۲، این به عنوان یک حقیقت مسلم مورد استقبال قرار خواهد گرفت. اورول این ایده را در در رمان ۱۹۸۴ هم تکرار می‌کند.
مفهومی به نام Sentiment scoring (امتیازدهی احساسی) اولین روشی است که شرکت‌ها از طریق آن به آنالیز و تجزیه و تحلیل نظرات و پاسخ‌های خدمات مشتریان و احساسات مثبت و منفی آن‌ها می‌پردازند. این در حالی است که مقیاس‌های پرخاشگری در ارزیابی بیماران روانپزشکی نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. در هر مدل افراد باید عدد مدنظرشان (مثلا در بازه بین یک تا ده) را به معیاری اختصاص دهند که به شکل ملموس قابل اندازه‌گیری نیست. مثلا مشتری باید میزان رضایت خود از تراکنش را با یک عدد مشخص کرده یا مثلا در ارزیابی بیماران، باید به رفتار خشونت‌آمیز یک بیمار روانی نمره داده شود.
کار در این باره توضیح داد: «زمانی که سعی می‌کنید تا یک ساختار آماری از یک پدیده ذهنی ایجاد کنید، احساس فرد ممکن است لحظه به لحظه تغییر کند. ممکن است واقعا مطمئن نباشید که یک موضوع چقدر ملموس است؛ بنابراین سخت است که بتوانید احساسات خود را در شرایط متغیر، ارزیابی کنید و یا زمانی که حداقل یا حداکثر نمره به راحتی با تجربه شما قابل درک نیست به ارزیابی آن بپردازید. مثلا نمی‌دانید که میزان دردی که در بدنتان حس می‌کنید، از یک تا ده چه نمره‌ای دارد.
برخی از منتقدان بدبین، به صحبت‌های کار حمله کرده و اعلام کردند که ارزش ریاضی، در قابلیت اطمینان و سختی آن است. اما پاسخ کار به آن‌ها به تمایز بین استفاده از ریاضی به عنوان ابزاری برای یافتن پاسخ و از سوی دیگر کاربرد ریاضی به عنوان ابزاری برای یادگیری اشاره داشت.
او گفت: «خیلی از مردم به دنبال آن هستند تا با ریاضی و آمار، احساس اطمینان کنند. پاسخ این است. افراد دیگری هم هستند که ذهن خودشان را می‌بندند. من بیشتر در سوی مقابل هستم. آیا چیز دیگری وجود دارد که بتوانم در این مجموعه ایده‌ها کشف کنم؟ این یک اکتشاف هیجان‌انگیز است؛ مثل زمانی که مردم با فلزیاب کار می‌کنند.»
در نهایت کار می‌گوید که گسترش درک مردم از مزایا و معایب کاربرد‌های مختلف ریاضی، منجر به ایجاد تفکر انتقادی عمیق‌تری درباره نحوه تلاقی ریاضی با زندگی افراد می‌شود. او در این رابطه گفته: «به این نوع تفکر نیاز داریم؛ چون ما اساسا همه چیز را به داده تبدیل می‌کنیم.»
پادکست‌ها و فیلم‌ها همه دارای رتبه‌بندی با ستاره هستند و رسانه‌های اجتماعی هم مملو از این نسبت‌ها هستند. او ادامه داد: «اگر ما می‌خواهیم در دنیایی باشیم که در برنامه‌ها وجود دارند، باید مطمئن باشیم که همه چیز آنطور که ما فکر می‌کنیم کار می‌کنند.»
منبع: خبرآنلاین
هنگامی که به دو پرنده، دو گل، دو توپ نگاه می‌کنیم، عدد ۲ به ذهن می‌رسد. بر این اساس، طبق تعریف فرگه، عدد ۲، عبارت است از رده همه مجموعه‌های دو عضوی. به همین ترتیب رده‌ی همه مجموعه‌های هم ارز دارای n عضو عدد n را تعریف می‌کند. عمل جمع نیز تعریف شده است.
هنگامی که یک ساختمان ریاضی از مبحثی کاربردی، به منظور مطالعه‌ی بیشتر خواص آن، انتزاع می‌شود، در واقع به سمت ریاضیات محض میرویم. در نظریه اصل موضوعی، پس از معرفی حدود اولیه، و اصطلاحات تعریف شده، و بیان اصول موضوعه آن، و اثبات قضایای آن، برای یافتن کاربرد های جدید، به دنبال یافتن مدل‌هایی برای آن، به سمت ریاضیات کاربردی بر‌می‌گردیم. در این هنگام، به دنبال تعابیری از حدود اولیه که همان اصطلاحات تعریف نشده، هستند، می‌گردیم. مثلاً در هندسه اقلیدسی، نقطه و خط و وقوع و میان‌بود و قابلیت انطباق، از اصطلاحات تعریف نشده هستند و اگر ما از نقطه، به عنوان فنجان، و از خط، به عنوان میز، و وقوع نقطه بر خط را، به قرار گرفتن فنجان بر روی میز تعبیر کنیم، این تعبیر کامل نیست، زیرا اصل موضوع از هر دو نقطه، یک خط می‌گذرد، را برقرار نمی‌کند. تعابیر کامل که همه اصول را برقرار می‌کنند، مدل هستند. فقط در مدل‌ها همه قضایای آن ساختمان ریاضی برقرارند. نظر به اینکه در مثال‌های مطرح شده در مطلب چاپ شده‌ی بالا، از تعریف درست عدد استفاده نشده، و تعابیر ناقص به کار گرفته شده، نتایج نادرست گرفته شده است.